Сила тяжести

Продолжаем приседать. Теперь мы вычислим силу, которая действует на столб земли от поверхности до глубины h. Сперва я хотел показать решение в общем трехмерном случае, однако уравнения получались слишком громоздкими и за формальными перобразованиями терялась физическая картина. Поэтому, вместо разъяснения интегрирования дифференциальных уравнений в сферических координатах, я предпочел продемонстрировать решение в первом линейном приближении, которое понятно и более чем наглядно.

Наша задача обладает циллиндрической симметрией, поэтому ее можно привести к двухмерной (см. выше). Двухмерная задача может быть приведена к нелинейной одномерной, однако, поскольку нас иитересует не количественный, а качественный результат, этой нелинейностью мы можем принеберечь без ущерба для физической картины.

Сила, действующая на элементарный объем со стороны красной части, как очевидно из рисунка компенсируется силой, действующей на элементарный объем со стороны фиолетовой части. Это очевидно, поскольку эти части равны и расположены с противоположных сторон точки приложения сил. Таким образом на наш объем действует лишь сила со стороны синей части, направленная к центру масс “Земли”.

Также очевидно, что расстояние от центра масс синего куска до элементарного объема постоянно и всегда равно R. (В случае трехмерной задачи это не так, поскольку распределение масс неоднородно и нам придется задать эту величину, как функцию от h).

Таким образом, сила df, действующая на линейный элементарный объем dx определяется выражением (1) (где р — линейная плотность), откуда после интегрирования получим (2):

Тогда, для центра линейной «Земли», подставив вместо h в формулу (2), граничное значение — R, получим:

где G — гравитационная постоянная, а р — линейная плотность. Это и есть сила, с которой «давит» столб от «поверхности» до центра одномерной «Земли». С формальной точки зрения это решение является первым, линейным приближением задачи. Для численной оценки, в первом же приближении мы можем выразить p через массу «Земли» m и ее радиус R. Соответственно p=m/2R, тогда для одномерной Земли получим:

Для столба площадью S, значительно меньшей площади экваториального сечения Земли, мы получим силу f* и, соответственно давление Р (где S — площадь столба):

Эта формула первого линейного приближения, к сожалению, не пригодна для практических вычислений, но тем не менее можно попробовать сравнить ее результат со справочными данными. Если в формулу для давления подставить значения величин (G = 6.67300 × 10(-11) м3 кг-1 с-2, m = = 5.9742 × 10(24) кг, R = = 6,378 × 10(6) м ), то мы получим 120 ГПа. Однако известно (например, отсюда), что давление в центре Земли 360 ГПа. Таким образом, наша линейная модель позволила точно определить порядок величины давления в центре Земли, но не его абсолютное значение (чего, в прочем, и не требовалось). Полученный результат убедительно показывает, что наши соображения были верными, а наш упрощенный подход правильно отражает реальное положение вещей.

Комментарии